Exercice 6, § 3

a) Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique $\neq 2$. Déterminer les idéaux premiers gradués de l’anneau

b) Soient $k$ un corps ordonné, $a, b, c$ des éléments $> 0$ de $k$ et A l’anneau $k[X, Y, Z]/(aX^2 + bY^2 + cZ^2)$. Montrer que A est un anneau factoriel. (Se ramener au cas où $k$ est un corps ordonné maximal, en utilisant l’exerc. 3 b); prouver alors, en utilisant $a$), que tout idéal premier gradué de hauteur 1 dans A est principal, et appliquer l’exerc. 3 a)). c) Soient $k$ un corps ordonné, $a, b$ des éléments $> 0$ de $k$ et B l’anneau $k[X, Y]/(aX^2 + bY^2 + 1)$. Montrer que B est un anneau factoriel (utiliser b) et l’exerc. 17 a) du § 1). d) Montrer que l’anneau $C = \mathbf{Q}[X, Y]/(X^2 + 2Y^2 + 1)$ est factoriel, mais que l’anneau $C' \otimes_{\mathbf{Q}} \mathbf{Q}(i)$ (avec $i^2 = -1$) n’est pas factoriel.