Bài tập 7, § 3

Cho K là một vành Noether nhân tử, F là một phần tử cực trị của vành đa thức $K[X_1, \ldots, X_n]$; giả sử rằng khi một trọng số $q(i) > 0$ ($1 \leq i \leq n$) được gán cho mỗi $X_i$, F là đẳng trọng và có trọng số $q > 0$. Cho A là vành được sinh, trong một bao đóng đại số $\Omega$ của trường các phân thức của $K(X_1, \ldots, X_n)$, bởi K, các $X_i$ ($1 \leq i \leq n$), và một nghiệm $z$ của đa thức $Z^c - F$, trong đó $c$ là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với $q$. Bây giờ chứng minh rằng A là nhân tử trong hai trường hợp sau: 1) ta có $c \equiv 1 \pmod{q}$; 2) mọi K-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn đều tự do (đây là trường hợp chẳng hạn khi K là một trường, hoặc một miền iđêan chính, hoặc một vành địa phương). (Trong trường hợp thứ nhất, xét vành các phân thức $A[1/z]$; chứng minh rằng nó là nhân tử và áp dụng mệnh đề 3 của No. 4. Trong trường hợp thứ hai, xét một số nguyên $d$ sao cho $cd \equiv 1 \pmod{q}$, và cho $z' \in \Omega$ sao cho $z = {z'}^d$; vành $B = A[z']$ là nhân tử nhờ trường hợp thứ nhất, và là một A-môđun tự do. Xét B như một vành phân bậc bằng cách lấy $z'$ có trọng số $q$, mỗi $X_i$ có trọng số $cdq(i)$, và rút gọn về việc chứng minh rằng với hai phần tử thuần nhất $u, v$ của A, iđêan $Au \cap Av$ là chính, sử dụng Bài tập 16 của § 1; cuối cùng xét iđêan $Bu \cap Bv$ trong B và sử dụng Chương I, § 3, No. 6, mệnh đề 12). Đặc biệt, nếu K là một trường, $a, b, c$ là ba số nguyên $> 0$ nguyên tố cùng nhau từng đôi một, vành

là nhân tử.