Exercice 7, § 3

Soient K un anneau factoriel noethérien, F un élément extrémal de l’anneau de polynômes $K[X_1, \ldots, X_n]$; on suppose que lorsque l’on attribue à chaque $X_i$ un poids $q(i) > 0$ ($1 \leq i \leq n$) F est isobare et de poids $q > 0$. Soit A l’anneau engendré, dans une clôture algébrique $\Omega$ du corps des fractions de $K(X_1, \ldots, X_n)$, par K, les $X_i$ ($1 \leq i \leq n$), et une racine $z$ du polynôme $Z^c - F$, où $c$ est un entier étranger à $q$. Montrer que A est factoriel dans les deux cas suivants: 1) on a $c \equiv 1 \pmod{q}$; 2) tout K-module projectif de type fini est libre (ce qui a lieu par exemple lorsque K est un corps, ou un anneau principal, ou un anneau local). (Dans le premier cas, considérer l’anneau de fractions $A[1/z]$; montrer qu’il est factoriel et appliquer la prop. 3 du n° 4. Dans le second cas, considérer un entier $d$ tel que $cd \equiv 1 \pmod{q}$, et soit $z' \in \Omega$ tel que $z = {z'}^d$; l’anneau $B = A[z']$ est factoriel en vertu du premier cas, et est un A-module libre. Considérer B comme un anneau gradué en prenant $z'$ de poids $q$, chacun des $X_i$ de poids $cdq(i)$, et se ramener à prouver que pour deux éléments homogènes $u, v$ de A, l’idéal $Au \cap Av$ est principal, en utilisant l’exerc. 16 du § 1 ; considérer enfin l’idéal $Bu \cap Bv$ dans B et utiliser le chap. I, § 3, n° 6, prop. 12). En particulier, si K est un corps, $a, b, c$ trois entiers $> 0$ étrangers deux à deux, l’anneau

est factoriel.