Bài tập 9, § 3

a) Cho $\mathbf{A}$ là một vành nguyên Noether sao cho với mọi iđêan cực đại $m$ của $\mathbf{A}$, $\mathbf{A}_m$ là một vành định giá rời rạc. Nếu $\mathbf{B}$ là vành chuỗi lũy thừa hình thức $\mathbf{A}[[X_1, \ldots, X_n]]$, bây giờ chứng minh rằng với mọi iđêan cực đại $n$ của $\mathbf{B}$, vành $\mathbf{B}_n$ là giai thừa (xét phép hoàn thành của nó, sử dụng mệnh đề 8 của No. 9). Suy ra rằng mọi iđêan chia của $\mathbf{B}$ là một $\mathbf{B}$-môđun xạ ảnh.

b) Cho $\mathbf{C}$ là một vành Noether sao cho mọi $\mathbf{C}$-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn đều là tự do; bây giờ chứng minh rằng vành chuỗi lũy thừa hình thức $\mathbf{C}[[X]]$ có cùng tính chất đó (xem chương II, § 3, No. 2, mệnh đề 5).

c) Suy ra từ a) và b) rằng nếu $\mathbf{A}$ là một miền iđêan chính, thì vành chuỗi lũy thừa hình thức $\mathbf{A}[[X_1, \ldots, X_n]]$ là giai thừa.