Exercice 9, § 3

a) Soit $\mathbf{A}$ un anneau intègre noethérien tel que pour tout idéal maximal $m$ de $\mathbf{A}$, $\mathbf{A}_m$ soit un anneau de valuation discrète. Si $\mathbf{B}$ est l’anneau de séries formelles $\mathbf{A}[[X_1, \ldots, X_n]]$, montrer que pour tout idéal maximal $n$ de $\mathbf{B}$, l’anneau $\mathbf{B}_n$ est factoriel (considérer son complété, en utilisant la prop. 8 du n° 9). En déduire que tout idéal divisoriel de $\mathbf{B}$ est un $\mathbf{B}$-module projectif.

b) Soit $\mathbf{C}$ un anneau noethérien tel que tout $\mathbf{C}$-module projectif de type fini soit libre; montrer que l’anneau de séries formelles $\mathbf{C}[[X]]$ a la même propriété (cf. chap. II, § 3, n° 2, prop. 5).

c) Déduire de a) et b) que si $\mathbf{A}$ est un anneau principal, l’anneau de séries formelles $\mathbf{A}[[X_1, \ldots, X_n]]$ est factoriel.