Bài tập 4, § 3

Cho k là một trường, n là một số nguyên ≥ 1. Với mỗi số nguyên r ∈ {0, n}, cho M_r là không gian con vectơ của k(X_1, ..., X_n) sinh bởi các đơn thức X_1^{\alpha_1} ... X_r^{\alpha_r} với α_1, ..., α_r thuộc Z và α_r > 0. Đặt a_r = M_r + ... + M_n, với 0 ≤ r ≤ n + 1. Khi đó a_0 là một vành con của k(X_1, ..., X_n), và các a_r là các iđêan nguyên tố của a_0. Đặt A = (a_0)_{a_1} và p_r = (a_r)_{a_1} với 1 ≤ r ≤ n + 1. Chứng minh rằng các iđêan nguyên tố duy nhất của vành địa phương A là các p_r, rằng ta có ht(p_r) = n + 1 − r và dim(A) = n. Hơn nữa p_1 là chính.