Bài tập 1, § 4

Cho Γ là một nhóm giao hoán và H là một vành phân bậc kiểu Γ (A, II, p. 164). Với γ ∈ Γ, ta ký hiệu H_γ là thành phần thuần nhất bậc γ của H. Ta giả sử rằng H được sinh bởi H_0 và một họ hữu hạn (x_i)_{i∈I} các phần tử thuần nhất bậc ≠ 0. Ta ký hiệu γ_i là bậc của x_i. Với mọi nhóm giao hoán K, ta ký hiệu K[[Γ]] là nhóm tích K^Γ và ta gọi $\sum_{\gamma\in\Gamma} m_\gamma T^\gamma$ là phần tử (m_γ) của K^Γ. Ta ký hiệu K[Γ] là nhóm con K^{(Γ)} của K[[Γ]]. Ta trang bị cho K[[Γ]] cấu trúc tự nhiên của môđun trên đại số Z[Γ] của nhóm Γ. Cuối cùng, cho C là một tập hợp thừa kế các lớp của các H_0-môđun (A, VIII, § 10, no 1, def. 1) và K(C) là nhóm Grothendieck tương ứng (loc. cit., no 2). Với mọi H_0-môđun E kiểu C, ta ký hiệu [E] là lớp của nó trong K(C). a) Giả sử rằng H_0 là Noether, và cho M là một H-môđun phân bậc sinh hữu hạn sao cho với mọi γ ∈ Γ, H_0-môđun M_γ là kiểu C. Bây giờ chứng minh rằng phần tử $\prod_{i\in\Gamma} (1 - T^{\gamma_i}) \sum_{\gamma\in\Gamma} [M_\gamma] T^\gamma$ của K(C)[[Γ]] thuộc về K(C)[Γ].

b) Bây giờ giả sử rằng có $\Gamma = Z^s$, $H_\gamma = 0$ và $M_\gamma = 0$ với $\gamma \notin N^s$, và rằng các $\gamma_i$ là các vectơ cơ sở của $Z^s$; ký hiệu a_k là số các $\gamma_i$ bằng vectơ cơ sở thứ k, chứng minh rằng ta có

trong đó $T = (T_1, ..., T_s)$, và $(m_\gamma)$ là một họ có giá hữu hạn. Suy ra sự tồn tại của các phần tử $c_b$, với $b \in Z^s$, của $K(C)$, bằng không ngoại trừ một số hữu hạn các $b$ và sao cho, với $\gamma \in N^s$ đủ lớn, ta có

trong đó

tổng được lấy trên các phần tử $b$ của $Z^s$ thỏa mãn $b_i < a_i$ với $1 \leq i \leq s$.