Exercice 1, § 4

Soient Γ un groupe commutatif et H un anneau gradué de type Γ (A, II, p. 164). Pour γ ∈ Γ, on note H_γ le composant homogène de degré γ de H. On suppose que H est engendré par H_0 et une famille finie (x_i)_{i∈I} d’éléments homogènes de degré ≠ 0. On note γ_i le degré de x_i. Pour tout groupe commutatif K, on note K[[Γ]] le groupe produit K^Γ et on désigne par $\sum_{\gamma\in\Gamma} m_\gamma T^\gamma$ l’élément (m_γ) de K^Γ. On note K[Γ] le sous-groupe K^{(Γ)} de K[[Γ]]. On munit K[[Γ]] de sa structure naturelle de module sur l’algèbre Z[Γ] du groupe Γ. Soient enfin C un ensemble héréditaire de classes de H_0-modules (A, VIII, § 10, no 1, déf. 1) et K(C) le groupe de Grothendieck correspondant (loc. cit., no 2). Pour tout H_0-module E de type C, on note [E] sa classe dans K(C). a) Supposons H_0 noethérien, et soit M un H-module gradué de type fini tel que pour tout γ ∈ Γ, le H_0-module M_γ soit de type C. Montrer que l’élément $\prod_{i\in\Gamma} (1 - T^{\gamma_i}) \sum_{\gamma\in\Gamma} [M_\gamma] T^\gamma$ de K(C)[[Γ]] appartient à K(C)[Γ].

b) Supposons maintenant que l’on ait $\Gamma = Z^s$, $H_\gamma = 0$ et $M_\gamma = 0$ pour $\gamma \notin N^s$, et que les $\gamma_i$ soient des vecteurs de base de $Z^s$; notant $a_k$ le nombre de $\gamma_i$ qui sont égaux au $k$-ième vecteur de base, prouver que l’on a

où $T = (T_1, ..., T_s)$, et $(m_\gamma)$ est une famille à support fini. En déduire l’existence d’éléments $c_b$, pour $b \in Z^s$, de $K(C)$, nuls sauf pour un nombre fini de $b$ et tels que, pour $\gamma \in N^s$ assez grand, on ait

où

la somme étant prise sur les éléments $b$ de $Z^s$ vérifiant $b_i < a_i$ pour $1 \leq i \leq s$.