Bài tập 11, § 4

Người ta đề nghị chứng minh các khẳng định MC1, MC2, MC3 của Bài tập 9, d) (định lý Macaulay). Cho $l \in \mathbf{N}$, $A \subset \mathscr{M}_l$, và $p$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho $A \subset [X_p^l]$. Ta sẽ chứng minh MC2 bằng quy nạp theo $p$. (a) Chứng minh định lý với $p = 1$ và $p = 2$. (b) Dùng giả thiết quy nạp, bây giờ chứng minh rằng với mọi $i \leq p$, $dC_iA \subset C_idA$ (các ký hiệu của Bài tập 8). (c) Đặt $A^1 = A, A^{j+1} = C_iA^j$ trong đó $i \equiv j \mod p$ và $1 \leq i \leq p$. Chứng minh rằng với $j$ đủ lớn ta có $A^{j+1} = A^j$. (Với mọi $a \in \mathscr{M}_l$, ký hiệu $n(a) \in \mathbf{N}$ là hạng của $a$ đối với cấp từ điển và đặt $n(A) = \sum_{a \in A} n(a)$. Chứng minh rằng $n(A^{j+1}) \leq n(A^j)$ và rằng $n(A^{j+1}) = n(A^j)$ khi và chỉ khi $A^{j+1} = A^j$.) (d) Chứng minh định lý trong trường hợp tổng quát. (Một tập con $A \subset [X_p^l] \subset \mathscr{M}_l$ được gọi là cực tiểu nếu $\mathrm{Card}(dA) \leq \mathrm{Card}(dA')$ đối với các tập con $A' \subset [X_p^l]$ sao cho $\mathrm{Card}(A') = \mathrm{Card}(A)$. Vấn đề là chỉ ra rằng nếu $A$ là cực tiểu thì $CA$ là cực tiểu. Cho $A$ là cực tiểu. Dùng (b), chứng minh rằng $C_iA$ là cực tiểu với mọi $i \leq p$. Suy ra, dùng các ký hiệu của (c), rằng $A^j$ là cực tiểu với mọi $j$. Suy ra theo (c) rằng tồn tại một $B$ cực tiểu sao cho $\mathrm{Card}(B) = \mathrm{Card}(A)$ và $C_iB = B$ với $1 \leq i \leq p$. Trong trường hợp $p = 3$, dùng Bài tập 10, c) để kết luận. Trong trường hợp $p \geq 4$, dùng Bài tập 10, b) để suy ra rằng $B = CA^1$.)

1 Đối với các phép tổng quát hóa và các bổ sung liên quan đến bài tập này, có thể tham khảo G. F. Clements và B. Lindström, Một phép tổng quát hóa một định lý tổ hợp của Macaulay, J. of Combinatorial Theory 7 (1969), p. 230-238.