Exercice 11, § 4

On se propose de démontrer les assertions MC1, MC2, MC3 de l’exerc. 9, d) (théorème de Macaulay). Soient $l \in \mathbf{N}$, $A \subset \mathscr{M}_l$, et $p$ le plus petit entier tel que $A \subset [X_p^l]$. Nous allons démontrer MC2 par récurrence sur $p$. a) Démontrer le théorème pour $p = 1$ et $p = 2$. b) Utilisant l’hypothèse de récurrence, montrer que pour tout $i \leq p$, $dC_iA \subset C_idA$ (notations de l’exerc. 8). c) On pose $A^1 = A, A^{j+1} = C_iA^j$ où $i \equiv j \mod p$ et $1 \leq i \leq p$. Montrer que pour $j$ assez grand on a $A^{j+1} = A^j$. (Pour tout $a \in \mathscr{M}_l$, noter $n(a) \in \mathbf{N}$ le rang de $a$ pour l’ordre lexicographique et poser $n(A) = \sum_{a \in A} n(a)$. Montrer que $n(A^{j+1}) \leq n(A^j)$ et que $n(A^{j+1}) = n(A^j)$ si et seulement si $A^{j+1} = A^j$.) d) Démontrer le théorème dans le cas général. (Une partie $A \subset [X_p^l] \subset \mathscr{M}_l$ est dite minimale si $\mathrm{Card}(dA) \leq \mathrm{Card}(dA')$ pour les parties $A' \subset [X_p^l]$ telles que $\mathrm{Card}(A') = \mathrm{Card}(A)$. Il s’agit de montrer que si $A$ est minimale, $CA$ est minimale. Soit $A$ minimale. Utilisant $b$), montrer que $C_iA$ est minimale pour tout $i \leq p$. En déduire, en utilisant les notations de c), que $A^j$ est minimale pour tout $j$. En déduire d’après c) qu’il existe $B$ minimale telle que $\mathrm{Card}(B) = \mathrm{Card}(A)$ et $C_iB = B$ pour $1 \leq i \leq p$. Dans le cas $p = 3$, utiliser l’exerc. 10, c) pour conclure. Dans le cas $p \geq 4$, utiliser l’exerc. 10, b) pour en déduire que $B = CA^1$.)

1 Pour des généralisations et des compléments sur cet exercice, on pourra consulter G. F. Clements et B. Lindström, A Generalization of a Combinatorial Theorem of Macaulay, J. of Combinatorial Theory 7 (1969), p. 230-238.