Bài tập 12, § 4

Cho $H : \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ là một ánh xạ và $k$ là một trường. Ta đề xuất chứng minh tính tương đương của các tính chất sau: (i) $H$ là một hàm Macaulay (p. 90, Bài tập 7). (ii) Tồn tại một thang (p. 92, Bài tập 8) kiểu hữu hạn $\Delta \subset \mathscr{M}$ sao cho với mọi $l \in \mathbf{N}$, ta có $H(l) = \mathrm{Card}(\Delta_l)$. (iii) Tồn tại một $k$-đại số phân bậc $A$, kiểu $\mathbf{N}$, sinh bởi một số hữu hạn phần tử của nó có bậc 1, sao cho với mọi $l$, ta có $H(l) = \dim_k A_l$. a) Để chứng minh (ii) $\Leftrightarrow$ (iii), ta sẽ sử dụng Bài tập 8, c). b) Ta hãy chứng minh (i) $\Rightarrow$ (ii). Cho $H$ là một hàm Macaulay. Với mọi $l$, gọi $\Delta_l \subset \mathscr{M}_l$ là tập con ban đầu sao cho $\mathrm{Card}(\Delta_l) = H(l)$ và đặt $\Delta = \bigcup_l \Delta_l$. Để chỉ ra rằng $\Delta$ là một thang, ta sẽ sử dụng Bài tập 9, c). c) Ta hãy chứng minh (ii) $\Rightarrow$ (i). Cho $\Delta$ là một thang. Để chỉ ra rằng $H : l \mapsto \mathrm{Card}(\Delta_l)$ là một hàm Macaulay, ta sẽ sử dụng định lý Macaulay (MC1) (Bài tập 11) và Bài tập 9, c) $^1$.