Exercice 12, § 4

Soient $H : \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ une application et $k$ un corps. On se propose de démontrer l’équivalence des propriétés suivantes : (i) $H$ est une fonction de Macaulay (p. 90, exerc. 7). (ii) Il existe un escalier (p. 92, exerc. 8) de type fini $\Delta \subset \mathscr{M}$ tel que pour tout $l \in \mathbf{N}$, on ait $H(l) = \mathrm{Card}(\Delta_l)$. (iii) Il existe une $k$-algèbre graduée $A$, de type $\mathbf{N}$, engendrée par un nombre fini de ses éléments de degré 1, telle que pour tout $l$, on ait $H(l) = \dim_k A_l$. a) Pour démontrer (ii) $\Leftrightarrow$ (iii), on utilisera l’exerc. 8, c). b) Démontrons (i) $\Rightarrow$ (ii). Soit $H$ une fonction de Macaulay. Pour tout $l$, soit $\Delta_l \subset \mathscr{M}_l$ la partie initiale telle que $\mathrm{Card}(\Delta_l) = H(l)$ et posons $\Delta = \bigcup_l \Delta_l$. Pour montrer que $\Delta$ est un escalier, on utilisera l’exerc. 9, c). c) Démontrons (ii) $\Rightarrow$ (i). Soit $\Delta$ un escalier. Pour montrer que $H : l \mapsto \mathrm{Card}(\Delta_l)$ est une fonction de Macaulay, on utilisera le théorème de Macaulay (MC1) (exerc. 11) et l’exerc. 9, c) $^1$.