Bài tập 3, § 4

(a) Cho một ví dụ về một đại số phân bậc $H$ kiểu $Z$, trên một trường $K$, được sinh bởi một số hữu hạn phần tử thuần nhất có bậc $> 0$, và sao cho ánh xạ $n \mapsto \dim_K H_n$ không là đa thức tại vô cực. (b) Với ký hiệu và các giả thiết của Định lý 1 của § 4, No. 2, cho $D$ là $\mathrm{ppcm}$ của các $d_i$. Chứng minh rằng $H$ là một môđun sinh hữu hạn trên vành $H_0[(X_i^{D/d_i})_{i \in I}]$.

Suy ra rằng với mọi $n_0 \in N$, chuỗi $\sum_{n \in Z} \operatorname{long}_{H_0}(M_{n_0 + nD}) \; T^n$ có dạng $\frac{P_{n_0}(T)}{(1 - T)^c}$ trong đó $c = \operatorname{Card}(I)$ và $P_{n_0}(T) \in Q[T, T^{-1}]$. Suy ra rằng ánh xạ $n \mapsto \operatorname{long}_{H_0}(M_{n_0 + nD})$ là đa thức tại vô cực.