Exercice 3, § 4

a) Donner un exemple d’algèbre graduée $H$ de type $Z$, sur un corps $K$, engendrée par un nombre fini d’éléments homogènes de degrés $> 0$, et telle que l’application $n \mapsto \dim_K H_n$ ne soit pas polynomiale à l’infini. b) Avec les notations et hypothèses du th. 1 du § 4, no 2, soit $D$ le $\mathrm{ppcm}$ des $d_i$. Montrer que $H$ est un module de type fini sur l’anneau $H_0[(X_i^{D/d_i})_{i \in I}]$.

En déduire que pour tout $n_0 \in N$, la série $\sum_{n \in Z} \operatorname{long}_{H_0}(M_{n_0 + nD}) \; T^n$ est de la forme $\frac{P_{n_0}(T)}{(1 - T)^c}$ où $c = \operatorname{Card}(I)$ et $P_{n_0}(T) \in Q[T, T^{-1}]$. En déduire que l’application $n \mapsto \operatorname{long}_{H_0}(M_{n_0 + nD})$ est polynomiale à l’infini.