Bài tập 6, § 4

Cho H là một vành phân bậc kiểu Z, sao cho H_n = \{ 0 \} với n < 0, H_0 là một vành Artin địa phương và H là một H_0-đại số sinh hữu hạn. Cho L. là một phức bị chặn của các H-môđun tự do phân bậc sinh hữu hạn (xem A, X, p. 56). Do đó, với mỗi i, L_i đẳng cấu với một H-môđun có dạng $\bigoplus_{j=1}^{r_i} H(-n_{ij})$, với $n_{ij} \in \mathbf{Z}$, trong đó H(−k) là H-môđun phân bậc sao cho H(−k)_n = H_{n−k}. Với mọi H-môđun phân bậc sinh hữu hạn M, ký hiệu G_M \in \mathbf{Q}[T] là đa thức duy nhất sao cho tồn tại một số nguyên $n_1 \geq 0$ thỏa mãn

Chứng minh quan hệ

trong đó $\rho_k = \sum_{i \geq 0} (-1)^i \sum_{j=1}^{r_i} n_{ij}$, các $n_{ij}$ là các bậc liên kết với L_i, và trong đó H_i(L.) ký hiệu môđun đồng điều của phức L..