Exercice 6, § 4

Algèbre commutative, VIII, p. 90

Soit H un anneau gradué de type Z, tel que H_n = \{ 0 \} pour n < 0, que H_0 soit un anneau local artinien et que H soit une H_0-algèbre de type fini. Soit L. un complexe borné de H-modules libres gradués de type fini (cf. A, X, p. 56). Ainsi pour chaque i, L_i est isomorphe à un H-module de la forme $\bigoplus_{j=1}^{r_i} H(-n_{ij})$ , avec $n_{ij} \in \mathbf{Z}$ , où H(−k) est le H-module gradué tel que H(−k)_n = H_{n−k}. Pour tout H-module gradué M de type fini, notons G_M \in \mathbf{Q}[T] l’unique polynôme tel qu’il existe un entier $n_1 \geq 0$ satisfaisant à

G_M(n) = \sum_{i<n} \operatorname{long}_{H_0}(M_i), \quad \text{pour } n \geq n_1.

Démontrer la relation

\sum_{i \geq 0} (-1)^i G_{H_i(L.)} = \sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k}{k!} \rho_k \frac{\partial^k G_H}{\partial T^k}

où $\rho_k = \sum_{i \geq 0} (-1)^i \sum_{j=1}^{r_i} n_{ij}$ , les $n_{ij}$ étant les degrés associés à L_i, et où H_i(L.) désigne l’homologie du complexe L..

Solution

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