Bài tập 7, § 4

a) Cho l là một số nguyên $\geq 1$ và n \in \mathbf{N}. Chứng minh rằng tồn tại một dãy giảm duy nhất của các số nguyên: $a_{l,l}(n) \geq a_{l,l-1}(n) \geq \cdots \geq a_{l,1}(n) \geq 0$ sao cho

Chứng minh rằng $n \leq m$ khi và chỉ khi $(a_{l,l}(n), a_{l,l-1}(n), ..., a_{l,1}(n))$ nhỏ hơn $(a_{l,l}(m), ..., a_{l,1}(m))$ theo cấp từ điển. Đặt

và với $l \geq 2$, ký hiệu $\partial_l^*(n)$ là số nguyên nhỏ nhất p sao cho $\partial_{l-1}(p) \geq n$. Tính $a_{l+1,i}(\partial_l(n)), a_{l-1,i}(\partial_l^*(n))$ theo các $a_{l,i}(n)$. b) Ta nói rằng một ánh xạ H : \mathbf{N} \to \mathbf{N} là một hàm Macaulay nếu

Chứng minh rằng điều này tương đương với việc nói rằng

Cho $H : \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ là một hàm Macaulay. Chứng minh rằng chỉ có hai trường hợp sau đây có thể xảy ra: α) Tồn tại $r \in \mathbf{N}$ sao cho $H(j) = 0$ với mọi $j \geq r$. β) Tồn tại $r \in \mathbf{N}$ và một dãy hữu hạn các số nguyên

sao cho với mọi $j \geq r$, ta có Chứng minh rằng $r$ và dãy $b_0 \geq b_1 \geq \cdots \geq b_r \geq 0$ được xác định duy nhất bởi hàm $H$. Ta đặt $d(H) = 0$ trong trường hợp α) và $d(H) = b_0 + 1$ trong trường hợp β), sao cho $d(H) - 1$ là bậc của đa thức () theo biến $j$. Gọi $a(H) \frac{j^{d(H)-1}}{(d(H)-1)!}$ là số hạng có bậc cao nhất của đa thức (). Chứng minh rằng $a(H)$ là một số nguyên $> 0$. Chứng minh rằng một đa thức theo một biến $j$ với các hệ số thuộc $\mathbf{Q}$, nhận các giá trị nguyên trên các số nguyên và dương ngặt với $j$ đủ lớn, không nhất thiết có dạng (*). c) Cho $H : \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ là một hàm Macaulay. Ta đặt sao cho $S_H(T) \in \mathbf{Z}[[T]]$. Chứng minh rằng $S_H(T) \in \mathbf{Z}[T]$ hoặc tồn tại một dãy hữu hạn các số nguyên được xác định duy nhất bởi $H$, và một đa thức $P \in \mathbf{Z}[T]$ sao cho Chứng minh rằng $c_0 = d(H)$ và $a(H)$ là số các số nguyên $c_i$ sao cho $c_i = d(H)$. Phân thức hữu tỉ $\sum_{n=0}^r \frac{T^n}{(1-T)^{c_n}}$ được gọi là khai triển tiệm cận của $H$. Cho $A_1, ..., A_d$ là các số nguyên, với $A_d \neq 0$, sao cho phân thức hữu tỉ là một đa thức. Chứng minh rằng dãy $(A_n)_{1 \leq n \leq d}$ xác định duy nhất và được xác định duy nhất bởi khai triển tiệm cận của $H$. Đặc biệt ta có $d = d(H), A_d = a(H)$. Xét trường hợp $d(H) = 2$ chi tiết hơn. d) Cho $H : \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ là một hàm Macaulay. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) $\partial_l^* H(l) = H(l-1)$ với mọi $l \geq 2$, (ii) $H$ là nhỏ nhất trong các hàm Macaulay có cùng khai triển tiệm cận với $H$. Các hàm Macaulay như vậy được gọi là cực biên. Cho $c_0 \geq c_1 \geq \cdots \geq c_r > 0$ là một dãy các số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một hàm Macaulay cực biên có $\sum_{n=0}^r \frac{T^n}{(1-T)^{c_n}}$ làm khai triển tiệm cận. Chứng minh rằng, nếu $H$ là một hàm Macaulay cực biên, thì $H(1) = d(H)$ hoặc $H(1) = d(H) + 1$. Suy ra rằng với mọi hàm Macaulay $H$, ta có $H(1) \geq d(H)$. e) Cho $H : \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ là một hàm Macaulay. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương: (i) ta có $S_H(T) = \frac{1}{(1-T)^{d(H)}}$,

(ii) $H(1) = d(H)$, (iii) $\partial_l H(l) = H(l + 1)$ với mọi $l \geqslant 1$. Đặc biệt, mọi hàm sao cho $H(1) = d(H)$ đều là cực biên.