Exercice 7, § 4

a) Soient l un entier $\geq 1$ et n \in \mathbf{N}. Montrer qu’il existe une unique suite décroissante d’entiers : $a_{l,l}(n) \geq a_{l,l-1}(n) \geq \cdots \geq a_{l,1}(n) \geq 0$ telle que

Montrer que l’on a $n \leq m$ si et seulement si $(a_{l,l}(n), a_{l,l-1}(n), ..., a_{l,1}(n))$ est inférieur à $(a_{l,l}(m), ..., a_{l,1}(m))$ pour l’ordre lexicographique. On pose

et pour $l \geq 2$, on note $\partial_l^*(n)$ le plus petit entier p tel que $\partial_{l-1}(p) \geq n$. Calculer $a_{l+1,i}(\partial_l(n)), a_{l-1,i}(\partial_l^*(n))$ en fonction des $a_{l,i}(n)$. b) On dit qu’une application H : \mathbf{N} \to \mathbf{N} est une fonction de Macaulay si

Montrer qu’il revient au même de dire que

Soit $H : \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ une fonction de Macaulay. Montrer que deux cas seulement sont possibles : α) Il existe $r \in \mathbf{N}$ tel que $H(j) = 0$ pour tout $j \geq r$. β) Il existe $r \in \mathbf{N}$ et une suite finie d’entiers

tels que pour tout $j \geq r$, on ait Montrer que $r$ et la suite $b_0 \geq b_1 \geq \cdots \geq b_r \geq 0$ sont uniquement déterminés par la fonction $H$. On pose $d(H) = 0$ dans le cas α) et $d(H) = b_0 + 1$ dans le cas β) de sorte que $d(H) - 1$ est le degré du polynôme () en la variable $j$. Soit $a(H) \frac{j^{d(H)-1}}{(d(H)-1)!}$ le terme de plus haut degré du polynôme (). Montrer que $a(H)$ est un entier $> 0$. Montrer qu’un polynôme en une variable $j$ à coefficients dans $\mathbf{Q}$, qui prend des valeurs entières sur les entiers et qui est strictement positif pour $j$ assez grand, n’est pas nécessairement de la forme (*). c) Soit $H : \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ une fonction de Macaulay. On pose de sorte que $S_H(T) \in \mathbf{Z}[[T]]$. Montrer que $S_H(T) \in \mathbf{Z}[T]$ ou bien qu’il existe une suite finie d’entiers uniquement déterminée par $H$, et un polynôme $P \in \mathbf{Z}[T]$ tels qu’on ait Montrer que $c_0 = d(H)$ et que $a(H)$ est le nombre d’entiers $c_i$ tels que $c_i = d(H)$. La fraction rationnelle $\sum_{n=0}^r \frac{T^n}{(1-T)^{c_n}}$ est appelée le développement asymptotique de $H$. Soient $A_1, ..., A_d$ des entiers, avec $A_d \neq 0$, tels que la fraction rationnelle soit un polynôme. Montrer que la suite $(A_n)_{1 \leq n \leq d}$ détermine uniquement et est uniquement déterminée par le développement asymptotique de $H$. En particulier on a $d = d(H), A_d = a(H)$. Examiner le cas $d(H) = 2$ plus en détail. d) Soit $H : \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ une fonction de Macaulay. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) $\partial_l^* H(l) = H(l-1)$ pour tout $l \geq 2$, (ii) $H$ est la plus petite des fonctions de Macaulay qui possèdent le même développement asymptotique que $H$. De telles fonctions de Macaulay sont dites extrémales. Soit $c_0 \geq c_1 \geq \cdots \geq c_r > 0$ une suite d’entiers. Montrer qu’il existe une et une seule fonction de Macaulay extrémale ayant pour développement asymptotique $\sum_{n=0}^r \frac{T^n}{(1-T)^{c_n}}$. Montrer que, si $H$ est une fonction de Macaulay extrémale, on a $H(1) = d(H)$ ou bien $H(1) = d(H) + 1$. En déduire que pour toute fonction de Macaulay $H$, on a $H(1) \geq d(H)$. e) Soit $H : \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ une fonction de Macaulay. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) on a $S_H(T) = \frac{1}{(1-T)^{d(H)}}$,

(ii) $H(1) = d(H)$, (iii) $\partial_l H(l) = H(l + 1)$ pour tout $l \geqslant 1$. En particulier, toute fonction telle que $H(1) = d(H)$ est extrémale.