Bài tập 8, § 4

Cho E là một tập hợp. Đặt $\mathscr{M}(E) = \mathbf{N}^{(E)}$ và ký hiệu phép hợp thành trong $\mathscr{M}(E)$ theo phép nhân. Một iđêan của $\mathscr{M}(E)$ là một tập con I của $\mathscr{M}(E)$ sao cho $I \cdot \mathscr{M}(E) \subset I$. Một cầu thang của $\mathscr{M}(E)$ là phần bù của một iđêan. Ký hiệu bởi $d : \mathscr{M}(E) \to \mathbf{N}$ đồng cấu duy nhất của các nửa nhóm sao cho $d(x) = 1$, với mọi $x \in E$. Cho $A \subset \mathscr{M}(E)$. Với mọi $l \in \mathbf{N}$, ký hiệu bởi $A_l$ tập hợp $A \cap d^{-1}(l)$. Hơn nữa, ký hiệu $\delta A$ là tập hợp các $m \in \mathscr{M}(E)$ sao cho, với mọi phần tử $x$ của $E$ chia $m$, ta có $m/x \in A$ và $dA$ là tập hợp các $m$ sao cho tồn tại một $x \in E$ với $mx \in A$. a) Chứng minh rằng với mọi tập con $A$ của $\mathscr{M}(E)$, ta có $d\delta A \subset A$ và $A \subset \delta dA$; nếu $A$ và $B$ là hai tập con của $\mathscr{M}(E)$, các quan hệ $dA \subset B$ và $A \subset \delta B$ là tương đương. Chứng minh rằng ba tính chất sau đây của một tập con $\Delta$ của $\mathscr{M}(E)$ là tương đương : (i) $\Delta$ là một cầu thang ; (ii) $\Delta \supset d\Delta$; (iii) $\delta \Delta \supset \Delta$. b) Cho F là một tập con của E và đồng nhất $\mathscr{M}(F)$ với ảnh chính tắc của nó trong $\mathscr{M}(E)$. Chứng minh rằng một tập con của $\mathscr{M}(F)$ là một cầu thang của $\mathscr{M}(F)$ khi và chỉ khi nó là một cầu thang của $\mathscr{M}(E)$. Chứng minh rằng, đối với một cầu thang $\Delta$ của $\mathscr{M}(E)$, các điều kiện sau là tương đương : (i) $\Delta_l$ là hữu hạn với mọi $l \in \mathbf{N}$; (ii) $\Delta_1$ là hữu hạn ; (iii) tồn tại một tập con hữu hạn F của E sao cho $\Delta \subset \mathscr{M}(F)$. Một cầu thang như vậy được gọi là có kiểu hữu hạn. c) Từ nay giả sử rằng $E = \mathbf{N}$ và đặt $\mathscr{M}(E) = \mathscr{M}$. Cho k là một trường. Ký hiệu bởi R đại số phân bậc $K^{(\mathscr{M})} = K[(X_i)_{i \in \mathbf{N}}]$. Ta đồng nhất $\mathscr{M}$ với tập hợp các đơn thức trong $K[(X_i)_{i \in \mathbf{N}}]$ và, với mọi tập con A của $\mathscr{M}$, ký hiệu bởi $k(A)$ không gian vectơ con của R sinh bởi A. Cho I là một iđêan của $\mathscr{M}$ và $\Delta$ là cầu thang bù. Khi đó $k(I)$ là một iđêan của R và $k(\Delta)$ là một không gian con bù của $k(I)$. Cho $J \subset R$ là một iđêan phân bậc của R. Chứng minh rằng tồn tại một cầu thang $\Delta \subset \mathscr{M}$ sao cho $k(\Delta)$ là một không gian con bù của J. (Đặt trên $\mathscr{M}$ thứ tự từ điển nghịch đảo sao cho có $X_1^{a_1} ... X_n^{a_n} < X_1^{b_1} ... X_n^{b_n}$ nếu tồn tại $0 \leq p \leq n$ sao cho $a_j = b_j$ với $j > p$, và $a_p < b_p$. Định nghĩa bằng quy nạp $m_1, ..., m_p, ...$ trong $\mathscr{M}$ theo cách sau : với mọi $p$, $m_p$ là đơn thức nhỏ nhất của $\mathscr{M}$ độc lập tuyến tính với $m_1, ..., m_{p-1}$ modulo J. Gọi $\Delta$ là tập hợp các $m_i$. Chứng minh rằng $\Delta$ là một cầu thang.) Chứng minh rằng một cầu thang như vậy có kiểu hữu hạn khi và chỉ khi đại số $R/J$ có kiểu hữu hạn trên k.