Exercice 8, § 4

Soit E un ensemble. On pose $\mathscr{M}(E) = \mathbf{N}^{(E)}$ et on note multiplicativement la composition dans $\mathscr{M}(E)$. Un idéal de $\mathscr{M}(E)$ est une partie I de $\mathscr{M}(E)$ telle que $I \cdot \mathscr{M}(E) \subset I$. Un escalier de $\mathscr{M}(E)$ est le complémentaire d’un idéal. On note $d : \mathscr{M}(E) \to \mathbf{N}$ l’unique homomorphisme de monoïdes tel que $d(x) = 1$, pour tout $x \in E$. Soit $A \subset \mathscr{M}(E)$. Pour tout $l \in \mathbf{N}$, on note $A_l$ l’ensemble $A \cap d^{-1}(l)$. On note de plus $\delta A$ l’ensemble des $m \in \mathscr{M}(E)$ tels que, pour tout élément $x$ de $E$ qui divise $m$, on ait $m/x \in A$ et $dA$ l’ensemble des $m$ tels qu’il existe un $x \in E$ avec $mx \in A$. a) Montrer que pour toute partie $A$ de $\mathscr{M}(E)$, on a $d\delta A \subset A$ et $A \subset \delta dA$; si $A$ et $B$ sont deux parties de $\mathscr{M}(E)$, les relations $dA \subset B$ et $A \subset \delta B$ sont équivalentes. Montrer que les trois propriétés suivantes d’une partie $\Delta$ de $\mathscr{M}(E)$ sont équivalentes : (i) $\Delta$ est un escalier ; (ii) $\Delta \supset d\Delta$; (iii) $\delta \Delta \supset \Delta$. b) Soit F une partie de E et identifions $\mathscr{M}(F)$ à son image canonique dans $\mathscr{M}(E)$. Montrer qu’une partie de $\mathscr{M}(F)$ est un escalier de $\mathscr{M}(F)$ si et seulement si elle est un escalier de $\mathscr{M}(E)$. Montrer que, pour un escalier $\Delta$ de $\mathscr{M}(E)$, les conditions suivantes sont équivalentes : (i) $\Delta_l$ est fini pour tout $l \in \mathbf{N}$; (ii) $\Delta_1$ est fini ; (iii) il existe une partie finie F de E telle que $\Delta \subset \mathscr{M}(F)$. Un tel escalier est dit de type fini. c) On suppose dorénavant que $E = \mathbf{N}$ et on pose $\mathscr{M}(E) = \mathscr{M}$. Soit k un corps. On note R l’algèbre graduée $K^{(\mathscr{M})} = K[(X_i)_{i \in \mathbf{N}}]$. On identifie $\mathscr{M}$ à l’ensemble des monômes dans $K[(X_i)_{i \in \mathbf{N}}]$ et, pour toute partie A de $\mathscr{M}$, on note $k(A)$ le sous-espace vectoriel de R engendré par A. Soit I un idéal de $\mathscr{M}$ et $\Delta$ l’escalier complémentaire. Alors $k(I)$ est un idéal de R et $k(\Delta)$ est un sous-espace supplémentaire de $k(I)$. Soit $J \subset R$ un idéal gradué de R. Montrer qu’il existe un escalier $\Delta \subset \mathscr{M}$ tel que $k(\Delta)$ soit un supplémentaire de J. (Mettre sur $\mathscr{M}$ l’ordre lexicographique inverse pour lequel on a $X_1^{a_1} ... X_n^{a_n} < X_1^{b_1} ... X_n^{b_n}$ s’il existe $0 \leq p \leq n$ tel que $a_j = b_j$ pour $j > p$, et $a_p < b_p$. Définir par récurrence $m_1, ..., m_p, ...$ dans $\mathscr{M}$ de la manière suivante : pour tout $p$, $m_p$ est le plus petit monôme de $\mathscr{M}$ linéairement indépendant de $m_1, ..., m_{p-1}$ modulo J. Soit $\Delta$ l’ensemble des $m_i$. Montrer que $\Delta$ est un escalier.) Montrer qu’un tel escalier est de type fini si et seulement si l’algèbre $R/J$ est de type fini sur k.