Bài tập 9, § 4

Dùng các ký hiệu của bài tập trước. Ta trang bị cho $\mathscr{M}$ thứ tự từ điển. Cho $l \in \mathbf{N}$. Một tập con A của $\mathscr{M}_l$ được gọi là ban đầu nếu, với mọi $m \in A$, tập hợp

được chứa trong A. (a) Cho $l \in \mathbf{N}$ (tương ứng $l \in \mathbf{N} - \{0\}$) và $A \subset \mathscr{M}_l$ là một tập con ban đầu. Bây giờ chứng minh rằng $\delta A$ (tương ứng $dA$) là một tập con ban đầu của $\mathscr{M}_{l+1}$ (tương ứng $\mathscr{M}_{l-1}$). Giả sử rằng A có một phần tử lớn nhất $m = X_1^{a_1} ... X_n^{a_n}$. Xác định phần tử lớn nhất của $\delta A$ (tương ứng $dA$). (b) Cho $l \in \mathbf{N} - \{0\}$ và $A \subset \mathscr{M}_l$ là một tập con ban đầu hữu hạn khác rỗng. Gọi $X_{a_l}$ là biến lớn nhất sao cho $[X_{a_l}^l] \subset A$. Bây giờ chứng minh rằng mọi $m$ trong $A - [X_{a_l}^l]$ đều bằng 1 hoặc chia hết cho $X_{a_l+1}$ và rằng $A' = \{ m \in \mathscr{M}_{l-1} | m X_{a_l+1} \in A - [X_{a_l}^l] \}$ là một tập con ban đầu của $\mathscr{M}_{l-1}$. Suy ra từ điều đã nêu trước một biểu thức của $\mathrm{Card}([X_1^{b_1} ... X_n^{b_n}])$. (c) Suy ra từ điều đã nêu trước rằng, với mọi $l \in \mathbf{N} - \{0\}$ và mọi tập con ban đầu hữu hạn A của $\mathscr{M}_l$, ta có $\mathrm{Card}(\delta A) = \partial_l(\mathrm{Card}(A))$, trong đó $\partial_l$ đã được định nghĩa trong bài tập trước. Tính theo cách tương tự $\mathrm{Card}(dA)$. (d) Với mọi $l \in \mathbf{N}$ và mọi $n \in \mathbf{N}$, đặt và ký hiệu $m_n$ là đơn thức thứ n của $\mathscr{M}_l$ theo thứ tự từ điển (ta sẽ đặt $m_0 = 1$).

Với mọi tập con hữu hạn A của $\mathscr{M}_l$, ký hiệu CA là tập con ban đầu của $\mathscr{M}_l$ sao cho $\mathrm{Card}(A) = \mathrm{Card}(CA)$. Bây giờ chứng minh rằng ba khẳng định sau là tương đương: (MC1) với mọi $l \in \mathbf{N}$ và mọi $A \subset \mathscr{M}_l$, ta có $C\delta A \subset \delta CA$; (MC2) với mọi $l \in \mathbf{N}$ và mọi $A \subset \mathscr{M}_l$, ta có $dCA \subset CdA$; (MC3) với mọi $l \in \mathbf{N}$ và mọi $n \in \mathbf{N}$, ta có $\mathrm{Card}(d[m_n]) = \mu(n)$.