Algèbre commutative, VIII, p. 92
On utilise les notations de l’exercice précédent. On met sur M l’ordre lexicographique. Soit l∈N. Une partie A de Ml est dite initiale si pour tout m∈A, l’ensemble
[m]={m′∈Md(m)∣m′<m} est contenu dans A. a) Soient
l∈N (resp.
l∈N−{0}) et
A⊂Ml une partie initiale. Montrer que
δA (resp.
dA) est une partie initiale de
Ml+1 (resp.
Ml−1). Supposons que A possède un plus grand élément
m=X1a1...Xnan. Déterminer le plus grand élément de
δA (resp.
dA). b) Soient
l∈N−{0} et
A⊂Ml une partie initiale finie non vide. Soit
Xal la plus grande variable telle que
[Xall]⊂A. Montrer que tout
m dans
A−[Xall] est égal à 1 ou divisible par
Xal+1 et que
A′={m∈Ml−1∣mXal+1∈A−[Xall]} est une partie initiale de
Ml−1. Déduire de ce qui précède une expression de
Card([X1b1...Xnbn]). c) Déduire de ce qui précède que, pour tout
l∈N−{0} et toute partie finie initiale A de
Ml, on a
Card(δA)=∂l(Card(A)), où
∂l a été défini dans l’exerc. 7. Calculer de manière analogue
Card(dA). d) Pour tout
l∈N et tout
n∈N, posons
μ(n)=A⊂MlCard(A)=ninfCard(dA), et notons
mn le n-ième monôme de
Ml pour l’ordre lexicographique (on posera
m0=1).
Pour toute partie finie A de Ml, notons CA la partie initiale de Ml telle que Card(A)=Card(CA). Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes : (MC1) pour tout l∈N et tout A⊂Ml, on a CδA⊂δCA; (MC2) pour tout l∈N et tout A⊂Ml, on a dCA⊂CdA; (MC3) pour tout l∈N et tout n∈N, on a Card(d[mn])=μ(n).