Bài tập 10, § 6

Cho $\rho : A \to B$ là một đồng cấu vành. Với mọi $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(B)$, đặt

Ta đề nghị chứng minh trong bài tập này rằng, khi B là một đại số trên A kiểu hữu hạn, ánh xạ $\mathfrak{p} \mapsto d(\mathfrak{p})$ từ $\mathrm{Spec}(B)$ vào $\mathbf{R}$ là nửa liên tục trên ("định lý Chevalley").

Gọi $\delta \subset B \otimes_A B$ là hạt nhân của đồng cấu A-chính tắc $B \otimes_A B \to B$. Với mọi số nguyên $r$ đặt

Đại số $B \otimes_A B$-đại số $P_{B/A}^r$ được gọi là đại số của các phần chính cấp $r$. Ta xem $B \otimes_A B$ như một B-đại số bởi đồng cấu $b \mapsto b \otimes 1$, sao cho $P_{B/A}^r$ là, với mọi $r$, một B-đại số và các đồng cấu chính tắc chuyển qua thương $P_{B/A}^{r+1} \to P_{B/A}^r$ xác định một hệ xạ ảnh các B-đại số.

$^1$ Đây là chiều như một không gian vectơ trên trường $\kappa(\mathfrak{p})$.

a) Cho $p : A \to A'$ là một đồng cấu vành. Đặt $B' = B \otimes_A A'$ và ký hiệu $q : B \to B'$ là đồng cấu chính tắc. Cho $r$ là một số nguyên. Chứng minh rằng đồng cấu duy nhất của các $B'$-đại số

gán cho lớp của $(b_1 \otimes b_2) \otimes 1$ ($b_i \in B$), lớp của $q(b_1) \otimes q(b_2)$, là một đẳng cấu.

b) Cho $S$ là một tập con nhân của $B$. Chứng minh rằng đồng cấu chính tắc

là một đẳng cấu.

c) Giả sử rằng $B$ là một đại số trên A có trình bày hữu hạn, nghĩa là đẳng cấu với một thương của $A[T_1, ..., T_n]$ bởi một iđêan kiểu hữu hạn. Chứng minh rằng với mọi $r \in \mathbf{N}$, $P_{B/A}'$ là một B-môđun có trình bày hữu hạn. Với mọi $p \in \mathrm{Spec}(B)$, đặt $P_{B/A}'[p] = \lim P_{B/A}' \otimes_B \kappa(p)$.

Chứng minh rằng $P_{B/A}'[p]$ là một $\kappa(p)$-đại số địa phương đầy đủ có trường thặng dư $\kappa(p)$. Cho $k \in \mathbf{N}$. Chứng minh rằng tập hợp các $p \in \mathrm{Spec}(B)$ sao cho $\dim(P_{B/A}'[p]) \geq k$ là một tập con đóng của $\mathrm{Spec}(B)$. (Với mọi $r \in \mathbf{N}$, gọi $F_{r,k}$ là tập hợp các $p$ sao cho $\dim_{\kappa(p)}(P_{B/A}' \otimes \kappa(p)) \geq \binom{r+k-1}{r-1}$.)

Ta sẽ chứng minh rằng $F_{r,k}$ là đóng (bài tập 9) và do đó $\Phi_k = \bigcap_r F_{r,k}$ là đóng. Sau đó ta sẽ áp dụng § 6, No. 3, Hệ quả 2 vào Mệnh đề 6.)

d) Cho $m$ là một iđêan của $B$ và cho $\mu \subset (B/m) \otimes_A B$ là hạt nhân của ánh xạ chính tắc $(B/m) \otimes_A B \to B/m$. Chứng minh rằng có một đẳng cấu chính tắc

Giả sử rằng $A$ là một trường, rằng $B$ là một $A$-đại số kiểu hữu hạn, và rằng $m$ là một iđêan cực đại của $B$. Chứng minh rằng $P_{B/A}'[m]$ là đẳng cấu với địa phương hóa hoàn thiện của $(B/m) \otimes_A B$ tại iđêan cực đại $\mu$. Suy ra rằng ta có $\dim(P_{B/A}'[m]) = \dim_m(B)$. (Áp dụng định lý các không điểm và Định lý 1 của § 2, No. 3. Ta sẽ nhận thấy rằng mở rộng $B/m$ của $A$ được chứa trong một mở rộng Galois hữu hạn của một mở rộng thuần phóng xạ hữu hạn của $A$.)

e) Giả sử rằng $B$ là một đại số kiểu hữu hạn trên $A$. Cho $p \in \mathrm{Spec}(B)$. Chứng minh rằng ta có

(Trước hết nhận xét rằng với mọi $r \in \mathbf{N}$, ta có $P_{B/A}' \otimes_B \kappa(p) = (P_{B/A}' \otimes_B B') \otimes_{B'} \kappa(p)$ bằng cách đặt $B' = B \otimes_A \kappa(\rho^{-1}(p))$, và do đó, theo a), ta có $P_{B/A}'[p] = P_{B'/\kappa(\rho^{-1}(p))}'[pB']$. Như vậy ta sẽ rút gọn về việc chứng minh, trong trường hợp $A$ là một trường, đẳng thức

Khi đó nhận xét rằng trong trường hợp $p$ là cực đại, đẳng thức này suy ra từ d). Trong trường hợp tổng quát, cho $q_1, ..., q_l$ là các iđêan nguyên tố tối tiểu của $B$ được chứa trong $p$. Dùng định lý các không điểm, chứng minh rằng tồn tại một tập mở trù mật $U$ của $V(p)$ sao cho với mọi iđêan cực đại $m$ thuộc $U$, các iđêan nguyên tố tối tiểu được chứa trong $m$ đều được chứa trong $U$. Dùng c), chứng minh rằng bằng cách giảm $U$, có thể giả sử thêm rằng, với mọi $p' \in U$, ta có $\dim(P_{B/A}'[p]) = \dim(P_{B/A}'[p'])$. Kết luận.)

f) Giả sử rằng $B$ là một $A$-đại số kiểu hữu hạn. Chứng minh rằng hàm $p \mapsto d(p) = \dim_p(B \otimes_A \kappa(\rho^{-1}(p)))$ là nửa liên tục trên. (Khi $B$ là hữu hạn trình bày, dùng e) và c). Trong trường hợp tổng quát, $B$ có dạng $A[T_1, ..., T_n]/J$. Gọi $J_\alpha$ là họ các iđêan kiểu hữu hạn của $A[T_1, ..., T_n]$ được chứa trong $J$, có thứ tự bởi quan hệ bao hàm, và đặt $B_\alpha = A[T_1, ..., T_n]/J_\alpha$. Với mọi $\alpha$, ta có $\mathrm{Spec}(B) \subset \mathrm{Spec}(B_\alpha) \subset \mathrm{Spec}(A[T_1, ..., T_n])$, và $\mathrm{Spec}(B) = \bigcap_\alpha \mathrm{Spec}(B_\alpha)$. Với mọi $p \in \mathrm{Spec}(B)$, đặt

Chứng minh rằng $d_\alpha(p) \geq d(p)$ và rằng $d(p) = \inf_\alpha d_\alpha(p)$ nhờ đặc trưng Noether của $\mathrm{Spec}(\kappa(\rho^{-1}(p))[T_1, ..., T_n])$. Suy ra rằng $p \mapsto d(p)$ là cận dưới lớn nhất của một họ lọc giảm các hàm nửa liên tục trên.)

EXERCISES

AC VIII .103