Exercice 10, § 6

Soit $\rho : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux. Pour tout $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(B)$, on pose

On se propose de démontrer dans cet exercice, que lorsque B est une A-algèbre de type fini, l’application $\mathfrak{p} \mapsto d(\mathfrak{p})$ de $\mathrm{Spec}(B)$ dans $\mathbf{R}$ est semi-continue supérieurement (« théorème de Chevalley »).

Notons $\delta \subset B \otimes_A B$ le noyau du A-homomorphisme canonique $B \otimes_A B \to B$. Pour tout entier $r$ on pose

La $B \otimes_A B$-algèbre $P_{B/A}^r$ est appelée l’algèbre des parties principales d’ordre $r$. On considère $B \otimes_A B$ comme une B-algèbre par l’homomorphisme $b \mapsto b \otimes 1$, de sorte que $P_{B/A}^r$ est, pour tout $r$, une B-algèbre et que les homomorphismes canoniques de passage au quotient $P_{B/A}^{r+1} \to P_{B/A}^r$ définissent un système projectif de B-algèbres.

$^1$ Il s’agit de la dimension comme espace vectoriel sur le corps $\kappa(\mathfrak{p})$.

a) Soit $p : A \to A'$ un homomorphisme d’anneaux. Posons $B' = B \otimes_A A'$ et notons $q : B \to B'$ l’homomorphisme canonique. Soit $r$ un entier. Montrer que l’unique homomorphisme de $B'$-algèbres

qui associe à la classe de $(b_1 \otimes b_2) \otimes 1$ ($b_i \in B$), la classe de $q(b_1) \otimes q(b_2)$, est un isomorphisme.

b) Soit $S$ une partie multiplicative de $B$. Montrer que l’homomorphisme canonique

est un isomorphisme.

c) On suppose que $B$ est une $A$-algèbre de présentation finie, c’est-à-dire isomorphe à un quotient de $A[T_1, ..., T_n]$ par un idéal de type fini. Montrer que pour tout $r \in \mathbf{N}$, $P_{B/A}'$ est un $B$-module de présentation finie. Pour tout $p \in \mathrm{Spec}(B)$, on pose $P_{B/A}'[p] = \lim P_{B/A}' \otimes_B \kappa(p)$.

Montrer que $P_{B/A}'[p]$ est une $\kappa(p)$-algèbre locale complète de corps résiduel $\kappa(p)$. Soit $k \in \mathbf{N}$. Montrer que l’ensemble des $p \in \mathrm{Spec}(B)$ tels que $\dim(P_{B/A}'[p]) \geq k$ est une partie fermée de $\mathrm{Spec}(B)$. (Pour tout $r \in \mathbf{N}$, soit $F_{r,k}$ l’ensemble des $p$ tels que $\dim_{\kappa(p)}(P_{B/A}' \otimes \kappa(p)) \geq \binom{r+k-1}{r-1}$.)

On montrera que $F_{r,k}$ est fermé (exerc. 9) et que par suite $\Phi_k = \bigcap_r F_{r,k}$ est fermé. On appliquera alors § 6, no 3, cor. 2 à la prop. 6.)

d) Soient $m$ un idéal de $B$ et $\mu \subset (B/m) \otimes_A B$ le noyau de l’application canonique $(B/m) \otimes_A B \to B/m$. Montrer que l’on a un isomorphisme canonique

On suppose que $A$ est un corps, que $B$ est une $A$-algèbre de type fini, et que $m$ est un idéal maximal de $B$. Montrer que $P_{B/A}'[m]$ est isomorphe au localisé complété de $(B/m) \otimes_A B$ en l’idéal maximal $\mu$. En déduire que l’on a $\dim(P_{B/A}'[m]) = \dim_m(B)$. (Appliquer le théorème des zéros et le th. 1 du § 2, no 3. On remarquera que l’extension $B/m$ de $A$ est contenue dans une extension galoisienne finie d’une extension radicielle finie de $A$.)

e) On suppose que $B$ est une algèbre de type fini sur $A$. Soit $p \in \mathrm{Spec}(B)$. Montrer que l’on a

(Remarquer d’abord que pour tout $r \in \mathbf{N}$, on a $P_{B/A}' \otimes_B \kappa(p) = (P_{B/A}' \otimes_B B') \otimes_{B'} \kappa(p)$ en posant $B' = B \otimes_A \kappa(\rho^{-1}(p))$, et que par suite, en vertu de a), on a $P_{B/A}'[p] = P_{B'/\kappa(\rho^{-1}(p))}'[pB']$. On se ramènera ainsi à démontrer, dans le cas où $A$ est un corps, l’égalité

Remarquer alors que dans le cas où $p$ est maximal, cette égalité résulte de d). Dans le cas général, soient $q_1, ..., q_l$ les idéaux premiers minimaux de $B$ contenus dans $p$. Montrer en utilisant le théorème des zéros qu’il existe un ouvert dense $U$ de $V(p)$ tel que pour tout idéal maximal $m$ appartenant à $U$, les idéaux premiers minimaux contenus dans $m$, soient contenus dans $U$. En utilisant c), montrer qu’on peut, en diminuant $U$, supposer de plus que, pour tout $p' \in U$, on a $\dim(P_{B/A}'[p]) = \dim(P_{B/A}'[p'])$. Conclure.)

f) On suppose que $B$ est une $A$-algèbre de type fini. Montrer que la fonction $p \mapsto d(p) = \dim_p(B \otimes_A \kappa(\rho^{-1}(p)))$ est semi-continue supérieurement. (Lorsque $B$ est de présentation finie, utiliser e) et c). Dans le cas général, $B$ est de la forme $A[T_1, ..., T_n]/J$. Soit $J_\alpha$ la famille des idéaux de type fini de $A[T_1, ..., T_n]$ contenus dans $J$, ordonnée par inclusion et posons $B_\alpha = A[T_1, ..., T_n]/J_\alpha$. Pour tout $\alpha$, on a $\mathrm{Spec}(B) \subset \mathrm{Spec}(B_\alpha) \subset \mathrm{Spec}(A[T_1, ..., T_n])$, et $\mathrm{Spec}(B) = \bigcap_\alpha \mathrm{Spec}(B_\alpha)$. Pour tout $p \in \mathrm{Spec}(B)$, posons

Montrer que $d_\alpha(p) \geq d(p)$ et que $d(p) = \inf_\alpha d_\alpha(p)$ en vertu du caractère noethérien de $\mathrm{Spec}(\kappa(\rho^{-1}(p))[T_1, ..., T_n])$. En déduire que $p \mapsto d(p)$ est la borne inférieure d’une famille filtrante décroissante de fonctions semi-continues supérieurement.)

EXERCICES

AC VIII .103