Bài tập 12, § 6

Cho $H$ là một đại số phân bậc kiểu hữu hạn, sao cho $H_0$ là một trường, và cho $(\xi_a)_{a \in A}$ là các phần tử thuần nhất của $H$ sinh ra $H$. Giả sử rằng tồn tại một họ các số nguyên dương ngặt $(d_i)_{i \in I}$ sao cho $P_H = \prod_{i \in I} (1 - T^{d_i})^{-1}$. Ta ký hiệu bởi $\delta_a > 0$ bậc của $\xi_a$. a) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một đơn ánh $\varphi : I \to A$ sao cho với mọi $i$, $d_i$ chia hết $\delta_{\varphi(i)}$. (Có thể sử dụng § 4, No. 2, Định lý 1.) b) Bây giờ chứng minh rằng ta có $\inf_{a \in A} \delta_a \leq \inf_{i \in I} d_i$. c) Suy ra rằng nếu các $\delta_a$ bằng nhau từng đôi một, đại số phân bậc $H$ là chính quy. d) Giả sử rằng $A$ có hai phần tử $a, a'$ sao cho $\delta_a < \delta_{a'}$ và rằng $\delta_{a'}$ không là bội của $\delta_a$. Bây giờ chứng minh rằng đại số phân bậc $H$ là chính quy.