Exercice 12, § 6

Soient $H$ une algèbre graduée de type fini, telle que $H_0$ soit un corps, et $(\xi_a)_{a \in A}$ des éléments homogènes de $H$ qui engendrent $H$. On suppose qu’il existe une famille d’entiers strictement positifs $(d_i)_{i \in I}$ telle que $P_H = \prod_{i \in I} (1 - T^{d_i})^{-1}$. On note $\delta_a > 0$ le degré de $\xi_a$. a) Montrer qu’il existe une injection $\varphi : I \to A$ telle que pour tout $i$, $d_i$ divise $\delta_{\varphi(i)}$. (On pourra utiliser le § 4, n° 2, th. 1.) b) Montrer que l’on a $\inf_{a \in A} \delta_a \leq \inf_{i \in I} d_i$. c) En déduire que si les $\delta_a$ sont égaux entre eux, l’algèbre graduée $H$ est régulière. d) On suppose que $A$ possède deux éléments $a, a'$ que $\delta_a < \delta_{a'}$ et que $\delta_{a'}$ n’est pas un multiple de $\delta_a$. Montrer que l’algèbre graduée $H$ est régulière.