Bài tập 3, § 6

Ta xét lại các ký hiệu của bài tập trước. Cho $M$ là một A-môđun, được trang bị một lọc $(K_i)_{i \in \mathbf{Z}}$ sao cho $K_i = M$ với $i \leq 0$. a) Chứng minh rằng A-môđun phân bậc $\mathscr{M} = \sum_{i \in \mathbf{Z}} K_i v^{-i}$ có một cấu trúc tự nhiên của $\mathscr{A}$-môđun phân bậc. b) Chứng minh rằng đại số trên A phân bậc $\mathscr{A}$ được sinh bởi các phần tử của nó có bậc 1 và −1 khi và chỉ khi tồn tại một iđêan q của A sao cho $\mathscr{F}_i = q^i$ ($i \in \mathbf{Z}$). c) Giả sử điều kiện cuối cùng này được thỏa mãn, chứng minh rằng lọc $(K_i)_{i \in \mathbf{Z}}$ là q-tốt khi và chỉ khi $\mathscr{A}$-môđun phân bậc $\mathscr{M}$ có kiểu hữu hạn.

d) Chứng minh rằng nếu lọc $(K_i)_{i\in\mathbf{Z}}$ là q-tốt, A-môđun $M$ không có $v$-xoắn, và ngược lại, cho một A-môđun $M$ kiểu hữu hạn không có $v$-xoắn, ta có thể liên kết với nó một A-môđun $M$ kiểu hữu hạn được trang bị một lọc q-tốt sao cho A-môđun liên kết với $M$ là $M$.