Exercice 3, § 6

Reprenons les notations de l’exercice précédent. Soit M un A-module, muni d’une filtration $(K_i)_{i \in \mathbf{Z}}$ telle que $K_i = M$ pour $i \leq 0$. a) Montrer que le A-module gradué $\mathscr{M} = \sum_{i \in \mathbf{Z}} K_i v^{-i}$ possède une structure naturelle de $\mathscr{A}$-module gradué. b) Montrer que la A-algèbre graduée $\mathscr{A}$ est engendrée par ses éléments de degré 1 et −1 si et seulement s’il existe un idéal q de A tel que $\mathscr{F}_i = q^i$ ($i \in \mathbf{Z}$). c) Supposant cette dernière condition réalisée, montrer que la filtration $(K_i)_{i \in \mathbf{Z}}$ est q-bonne si et seulement si le $\mathscr{A}$-module gradué $\mathscr{M}$ est de type fini.

d) Montrer que si la filtration $(K_i)_{i\in\mathbf{Z}}$ est q-bonne, le $A$-module $M$ est sans $v$-torsion, et que inversement, étant donné un $A$-module de type fini $M$ sans $v$-torsion, on peut lui associer un $A$-module de type fini $M$ muni d’une filtration q-bonne tel que le $A$-module associé à $M$ soit $M$.