Bài tập 4, § 6

Hãy xét lại các ký hiệu và các giả thiết của bài tập 2. Ta nói rằng lọc $\mathscr{F}$ là một lọc bởi các lũy thừa gần nếu tồn tại một số nguyên $k > 0$ sao cho

Chứng minh rằng nếu vành $A$ là Noether, thì các điều kiện sau là tương đương: (i) Lọc $\mathscr{F}$ là một lọc bởi các lũy thừa gần. (ii) Vành $A$ là Noether. (iii) iđêan $\mathscr{N} = \sum_{i \geqslant 1} v^{-i} \mathscr{F}_i$ của $A$ là kiểu hữu hạn. (iv) Tồn tại một số nguyên $k \geqslant 1$ sao cho $\mathscr{F}$ là lọc nhỏ nhất của $A$, đối với quan hệ cấp « $\mathscr{J}_n \subset \mathscr{G}_n$ với mọi $n$ », mà các số hạng đầu tiên là $\mathscr{F}_1, ..., \mathscr{F}_k$. (v) Đại số $A$-đại số $A$ là kiểu hữu hạn.