Exercice 4, § 6

Reprenons les notations et hypothèses de l’exerc. 2. On dit que la filtration $\mathscr{F}$ est une filtration par des quasi-puissances s’il existe un entier $k > 0$ tel que

Montrer que si l’anneau $A$ est noethérien, les conditions suivantes sont équivalentes : (i) La filtration $\mathscr{F}$ est une filtration par des quasi-puissances. (ii) L’anneau $A$ est noethérien. (iii) L’idéal $\mathscr{N} = \sum_{i \geqslant 1} v^{-i} \mathscr{F}_i$ de $A$ est de type fini. (iv) Il existe un entier $k \geqslant 1$ tel que $\mathscr{F}$ soit la plus petite filtration de $A$, pour la relation d’ordre « $\mathscr{J}_n \subset \mathscr{G}_n$ pour tout $n$ » dont les premiers termes soient $\mathscr{F}_1, ..., \mathscr{F}_k$. (v) La $A$-algèbre $A$ est de type fini.