Bài tập 5, § 6

Cho $\rho : A \to B$ là một đơn cấu của các vành Noether sao cho $B$ là một $A$-đại số sinh hữu hạn. Ta gọi bậc siêu việt của $B$ trên $A$, và ký hiệu là $d_A(B)$, là số nguyên lớn nhất $d$ sao cho tồn tại một đơn cấu của các $A$-đại số $b : A[X_1, ..., X_d] \to B$. (a) Chứng minh rằng nếu $\sigma : B \to C$ thỏa mãn cùng các giả thiết như $\rho$, thì ta có bất đẳng thức

(b) Chứng minh rằng nếu $A$ và $B$ là nguyên, $d_A(B)$ bằng bậc siêu việt của trường các phân thức của $B$ trên trường các phân thức của $A$. Hơn nữa nếu trong a giả sử $C$ là nguyên, thì ta có đẳng thức $d_A(C) = d_A(B) + d_B(C)$. (c) Chứng minh rằng nếu $B$ là một đại số con của $A[v, v^{-1}]$ chứa $A[v]$, trong đó $v$ là một phần tử bất định, thì ta có $d_A(B) = 1$.