Exercice 5, § 6

Soit $\rho : A \to B$ un homomorphisme injectif d’anneaux noethériens faisant de $B$ une $A$-algèbre de type fini. Appelons degré de transcendance de $B$ sur $A$, et notons $d_A(B)$, le plus grand entier $d$ tel qu’il existe un homomorphisme injectif de $A$-algèbres $b : A[X_1, ..., X_d] \to B$. a) Montrer que si $\sigma : B \to C$ satisfait aux mêmes hypothèses que $\rho$, on a l’inégalité

b) Montrer que si $A$ et $B$ sont intègres, $d_A(B)$ est égal au degré de transcendance du corps des fractions de $B$ sur celui de $A$. De plus si dans $a$ on suppose $C$ intègre, on a l’égalité $d_A(C) = d_A(B) + d_B(C)$. c) Montrer que si $B$ est une sous-algèbre de $A[v, v^{-1}]$ contenant $A[v]$, où $v$ est une indéterminée, on a $d_A(B) = 1$.