Bài tập 7, § 6

Cho $A$ là một vành Noether và $\mathscr{F} = (\mathscr{F}_i)_{i\in\mathbf{Z}}$ là một lọc giảm của $A$ sao cho $\mathscr{F}_0 = A$, $\mathscr{F}_1 \neq A$ và sao cho đại số $A$- $B = \sum_{i\in\mathbf{Z}} \mathscr{F}_i v^{-i}$ là có kiểu hữu hạn.

Ta đề nghị chứng minh rằng ta có $\dim(B) = \dim(A) + 1$ và dùng sự kiện này để tổng quát hóa kết quả của § 6, No. 3, hệ quả của mệnh đề 5. Ta sẽ dùng các kết quả của hai bài tập trước. (a) Cho $\mathfrak{m}$ là một iđêan cực đại của $B$. Bây giờ chứng minh rằng ta có

và suy ra bất đẳng thức

(b) Dùng sự kiện rằng mọi phần tử của $A[v]$-môđun $A[v, v^{-1}]/A[v]$ đều bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $v$, bây giờ chứng minh rằng ta có

và suy ra rằng ta có $\dim(B) \geq \dim(A) + 1$, do đó cuối cùng $\dim(B) = \dim(A) + 1$ (có thể dùng sự kiện rằng vành $A[v, v^{-1}]$ là một vành phân thức của B).

(c) Bây giờ chứng minh rằng các iđêan nguyên tố cực tiểu của B là các iđêan có dạng :

trong đó $\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố cực tiểu của A.

(d) Bây giờ chứng minh rằng ta có $vB \neq B$ và rằng $v$ không thuộc vào bất kỳ iđêan nguyên tố cực tiểu nào của B. Suy ra bất đẳng thức $\dim(B/vB) \leq \dim(A)$ (có thể dùng § 1 và § 3, no 3, hệ quả 1 của mệnh đề 4).

(e) Giả sử bây giờ tồn tại một iđêan cực đại $m$ của A chứa $\mathscr{F}_1$ và sao cho $\mathrm{ht}(m) = \dim(A)$. Bây giờ chứng minh rằng trong trường hợp này ta có $\dim(B/vB) \geq \dim(A)$ và do đó $\dim(B/vB) = \dim(A)$. (Có thể rút gọn về trường hợp A là một vành địa phương với iđêan cực đại $m$, chỉ ra rằng iđêan $\mathfrak{M}$ của B sinh bởi $v$ và $\sum_{i \in \mathbf{Z}} (\mathscr{F}_i \cap m) v^{-i}$ là một iđêan cực đại của B có chiều cao $\dim(A) + 1$ và địa phương hóa B tại $\mathfrak{M}$.)

(f) Nếu A là một vành địa phương Noether, và $\mathscr{F}$ là một lọc giảm của A sao cho $\mathscr{F}_0 = A$, $\mathscr{F}_1 \neq A$, ta có đẳng thức