Exercice 7, § 6

Soient $A$ un anneau noethérien et $\mathscr{F} = (\mathscr{F}_i)_{i\in\mathbf{Z}}$ une filtration décroissante de $A$ telle que $\mathscr{F}_0 = A$, $\mathscr{F}_1 \neq A$ et que la $A$-algèbre $B = \sum_{i\in\mathbf{Z}} \mathscr{F}_i v^{-i}$ soit de type fini.

On se propose de montrer que l’on a $\dim(B) = \dim(A) + 1$ et d’utiliser ce fait pour généraliser le résultat du § 6, n° 3, corollaire de la prop. 5. On utilisera les résultats des deux exercices précédents. a) Soit $\mathfrak{m}$ un idéal maximal de $B$. Montrer que l’on a

et en déduire l’inégalité

b) Utilisant le fait que tout élément du $A[v]$-module $A[v, v^{-1}]/A[v]$ est annulé par une puissance de $v$, montrer que l’on a

et en déduire que l’on a $\dim(B) \geq \dim(A) + 1$, d’où finalement $\dim(B) = \dim(A) + 1$ (on pourra utiliser le fait que l’anneau $A[v, v^{-1}]$ est un anneau de fractions de B).

c) Montrer que les idéaux premiers minimaux de B sont les idéaux de la forme :

où $\mathfrak{p}$ est un idéal premier minimal de A.

d) Montrer que l’on a $vB \neq B$ et que $v$ n’appartient à aucun des idéaux premiers minimaux de B. En déduire l’inégalité $\dim(B/vB) \leq \dim(A)$ (on pourra utiliser le § 1 et § 3, no 3, cor. 1 de la prop. 4).

e) Supposons maintenant qu’il existe un idéal maximal $m$ de A contenant $\mathscr{F}_1$ et tel que $\mathrm{ht}(m) = \dim(A)$. Montrer que dans ce cas on a $\dim(B/vB) \geq \dim(A)$ et donc $\dim(B/vB) = \dim(A)$. (On pourra se ramener au cas où A est un anneau local d’idéal maximal $m$, montrer que l’idéal $\mathfrak{M}$ de B engendré par $v$ et $\sum_{i \in \mathbf{Z}} (\mathscr{F}_i \cap m) v^{-i}$ est un idéal maximal de B ayant pour hauteur $\dim(A) + 1$ et localiser B en $\mathfrak{M}$.)

f) Si A est un anneau local noethérien, et $\mathscr{F}$ une filtration décroissante de A telle que $\mathscr{F}_0 = A$, $\mathscr{F}_1 \neq A$, on a l’égalité