Bài tập 9, § 6

Cho $A$ là một vành và $M$ là một A-môđun hữu hạn trình bày. Với mọi $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)$, đặt $\kappa(\mathfrak{p}) = A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p} \cdot A_\mathfrak{p}$. Chứng minh rằng với mọi $k \in \mathbf{N}$, tập hợp các $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)$ sao cho $\dim_{\kappa(\mathfrak{p})}(M \otimes_A \kappa(\mathfrak{p})) \geq k$ $^1$ là một tập con đóng của $\mathrm{Spec}(A)$. (Có thể lấy một trình bày $A^m \xrightarrow{u} A^n \to M \to 0$ của M và xét các định thức con của ma trận của $u$.)