Exercice 9, § 6

Soient A un anneau et M un A-module de présentation finie. Pour tout $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)$, on pose $\kappa(\mathfrak{p}) = A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p} \cdot A_\mathfrak{p}$. Montrer que pour tout $k \in \mathbf{N}$, l’ensemble des $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)$ tels que $\dim_{\kappa(\mathfrak{p})}(M \otimes_A \kappa(\mathfrak{p})) \geq k$ $^1$ est une partie fermée de $\mathrm{Spec}(A)$. (On pourra prendre une présentation $A^m \xrightarrow{u} A^n \to M \to 0$ de M et considérer les mineurs de la matrice de $u$.)