Bài tập 12, § 1

Cho $A$ là một vành, $M$ là một $A$-môđun. (a) Cho $P \in A[X]$. Chứng minh rằng nếu hạt nhân của phép vị tự tỉ số $P$ trong $M[X]$ khác không, thì nó chứa một phần tử khác không của $M$ (lấy $Q$ là một phần tử của $M[X]$ có bậc cực tiểu sao cho $PQ = 0$; nếu $P = a_0 X^p + \ldots + a_p$, $Q = m_0 X^q + \ldots + m_q$, nhận xét rằng $a_0 Q = 0$, rồi bằng quy nạp suy ra rằng $a_i Q = 0$ với mọi $i$). (b) Cho $J$ là một iđêan kiểu hữu hạn của $A$. Chứng minh rằng quan hệ $\mathrm{prof}_A(J;M) > 0$ tương đương với sự tồn tại của một phần tử $M[X]$-chính quy trong $JA[X]$. (c) Cho $I$ và $J$ là các iđêan kiểu hữu hạn của $A$. Chứng minh đẳng thức $\mathrm{prof}_A(IJ;M) = \min(\mathrm{prof}_A(I;M), \mathrm{prof}_A(J;M))$ (lập luận bằng quy nạp theo $\mathrm{prof}_A(IJ;M)$, sử dụng $b$).