Exercice 12, § 1

Soient $A$ un anneau, $M$ un $A$-module. a) Soit $P \in A[X]$. Prouver que si le noyau de l’homothétie de rapport $P$ dans $M[X]$ n’est pas nul, il contient un élément non nul de $M$ (soit $Q$ un élément de $M[X]$ de degré minimal tel que $PQ = 0$; si $P = a_0 X^p + \ldots + a_p$, $Q = m_0 X^q + \ldots + m_q$, observer que $a_0 Q = 0$, puis par récurrence que $a_i Q = 0$ pour tout $i$). b) Soit $J$ un idéal de type fini de $A$. Prouver que la relation $\mathrm{prof}_A(J;M) > 0$ équivaut à l’existence d’un élément $M[X]$-régulier dans $JA[X]$. c) Soient $I$ et $J$ des idéaux de type fini de $A$. Prouver l’égalité $\mathrm{prof}_A(IJ;M) = \min(\mathrm{prof}_A(I;M), \mathrm{prof}_A(J;M))$ (raisonner par récurrence sur $\mathrm{prof}_A(IJ;M)$, en utilisant $b$).