Bài tập 13, § 1

Cho $A$ là một vành, $J$ một iđêan của $A$, $M$ một $A$-môđun. Với mọi số nguyên $n \geq 0$, ký hiệu $\mathrm{prof}_n(J;M)$ là cận trên (trong $\overline{\mathbf{N}}$) của các độ dài của các dãy chính quy $M[X_1,\ldots,X_n]$ gồm các phần tử của $JA[X_1,\ldots,X_n]$. a) Bây giờ chứng minh rằng dãy $(\mathrm{prof}_n(J;M))_{n \geq 0}$ là tăng; ký hiệu $\mathrm{prof}_\infty(J;M)$ là giới hạn của nó (trong $\overline{\mathbf{N}}$). Chứng minh rằng ta có $\mathrm{prof}_\infty(J;M) \leq \mathrm{prof}_A(J;M)$.

BÀI TẬP

b) Khi iđêan $J$ là hữu hạn kiểu, chứng minh đẳng thức $\mathrm{prof}_{\infty}(J; M) = \mathrm{prof}_A(J; M)$ (lập luận như trong chứng minh của th. 2 của no. 4, sử dụng bài tập 12).

c) Trong trường hợp tổng quát, chứng minh rằng $\mathrm{prof}_{\infty}(J; M)$ là cận trên của các số $\mathrm{prof}_A(J'; M)$, trong đó $J'$ chạy qua tập hợp các iđêan hữu hạn kiểu được chứa trong $J$.

d) Cho $J'$ là một iđêan của $A$ sao cho $V(J') = V(J)$. Chứng minh rằng ta có $\mathrm{prof}_{\infty}(J'; M) = \mathrm{prof}_{\infty}(J; M)$.

e) Cho $A$ là một vành định giá có chiều cao 1, không Noether, $m$ là iđêan cực đại của nó. Chứng minh rằng ta có $\mathrm{prof}_{\infty}(m; A) = 1$ và $\mathrm{prof}_A(m; A) \geqslant 2$ (xem bài tập 2).