Exercice 13, § 1

Soient $A$ un anneau, $J$ un idéal de $A$, $M$ un $A$-module. Pour tout entier $n \geq 0$, on note $\mathrm{prof}_n(J;M)$ la borne supérieure (dans $\overline{\mathbf{N}}$) des longueurs des suites $M[X_1,\ldots,X_n]$-régulières d’éléments de $JA[X_1,\ldots,X_n]$. a) Montrer que la suite $(\mathrm{prof}_n(J;M))_{n \geq 0}$ est croissante ; on note $\mathrm{prof}_\infty(J;M)$ sa limite (dans $\overline{\mathbf{N}}$). Démontrer qu’on a $\mathrm{prof}_\infty(J;M) \leq \mathrm{prof}_A(J;M)$.

EXERCICES

b) Lorsque l’idéal $J$ est de type fini, démontrer l’égalité $\mathrm{prof}_{\infty}(J; M) = \mathrm{prof}_A(J; M)$ (raisonner comme dans la démonstration du th. 2 du n° 4, en utilisant l’exerc. 12).

c) Dans le cas général, montrer que $\mathrm{prof}_{\infty}(J; M)$ est la borne supérieure des nombres $\mathrm{prof}_A(J'; M)$, où $J'$ parcourt l’ensemble des idéaux de type fini contenus dans $J$.

d) Soit $J'$ un idéal de $A$ tel que $V(J') = V(J)$. Prouver qu’on a $\mathrm{prof}_{\infty}(J'; M) = \mathrm{prof}_{\infty}(J; M)$.

e) Soient $A$ un anneau de valuation de hauteur 1, non noethérien, $m$ son idéal maximal. Démontrer qu’on a $\mathrm{prof}_{\infty}(m; A) = 1$ et $\mathrm{prof}_A(m; A) \geqslant 2$ (cf. exerc. 2).