Bài tập 15, § 1

Cho $A$ là một vành địa phương Noether, $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn. Chứng minh các bất đẳng thức

(Chứng minh bất đẳng thức thứ nhất bằng quy nạp theo số nguyên $g = \mathrm{grade}(M)$, sử dụng Hệ quả 2 của Mệnh đề 13, No. 7 trong trường hợp $g = 0$ và sau đó xét một phần tử $A$-chính quy của $\mathrm{Ann}(M)$. Đối với bất đẳng thức thứ hai, nhận xét rằng ta có $\mathrm{grade}(M) \leqslant \mathrm{prof}(A_p)$ với mọi $p \in \mathrm{Supp}(M)$.)