Exercice 15, § 1

Soient $A$ un anneau local noethérien, $M$ un $A$-module de type fini. Démontrer les inégalités

(Prouver la première inégalité par récurrence sur l’entier $g = \mathrm{grade}(M)$, en utilisant le cor. 2 de la prop. 13, n° 7 dans le cas $g = 0$ puis en considérant un élément $A$-régulier de $\mathrm{Ann}(M)$. Pour la seconde, observer qu’on a $\mathrm{grade}(M) \leqslant \mathrm{prof}(A_p)$ pour tout $p \in \mathrm{Supp}(M)$.)