Bài tập 16, § 1

Cho $A$ là một vành địa phương Noether. Với mọi $A$-môđun $M$ sinh hữu hạn, ký hiệu $t_A(M)$, hoặc đơn giản là $t(M)$, là chiều của không gian vectơ $\kappa_A$-vectơ $\mathrm{Ext}_A^p(\kappa_A, M)$, với $p = \mathrm{prof}(M)$.

a) Cho $(x_1, \ldots, x_r)$ là một dãy các phần tử của $m_A$ hoàn toàn ngang qua đối với $M$, sinh một iđêan $J$. Ta có $t(M) = t(M/JM)$.

b) Cho $\rho : A \to B$ là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether; cho $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn, và cho $N$ là một $B$-môđun sinh hữu hạn phẳng trên $A$. Chứng minh công thức $t_B(M \otimes_A N) = t_A(M) t_B(\kappa_A \otimes_A N)$ (rút gọn, với sự trợ giúp của a), về trường hợp trong đó $\mathrm{prof}_B(M \otimes_A N) = \mathrm{prof}_A(M) = \mathrm{prof}_B(\kappa_A \otimes_A N) = 0$.