Exercice 16, § 1

Soit $A$ un anneau local noethérien. Pour tout $A$-module de type fini $M$, on note $t_A(M)$, ou simplement $t(M)$, la dimension du $\kappa_A$-espace vectoriel $\mathrm{Ext}_A^p(\kappa_A, M)$, avec $p = \mathrm{prof}(M)$.

a) Soit $(x_1, \ldots, x_r)$ une suite d’éléments de $m_A$ complètement sécante pour $M$, engendrant un idéal $J$. On a $t(M) = t(M/JM)$.

b) Soit $\rho : A \to B$ un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens ; soient $M$ un $A$-module de type fini, et $N$ un $B$-module de type fini plat sur $A$. Démontrer la formule $t_B(M \otimes_A N) = t_A(M) t_B(\kappa_A \otimes_A N)$ (se ramener à l’aide de a) au cas où $\mathrm{prof}_B(M \otimes_A N) = \mathrm{prof}_A(M) = \mathrm{prof}_B(\kappa_A \otimes_A N) = 0$.