Bài tập 18, § 1

Cho $A$ là một vành Noether, $J$ là một iđêan của $A$, $M$ và $N$ là các $A$-môđun kiểu hữu hạn, với $\mathrm{prof}_A(J; N) \geqslant 2$.

a) Chứng minh bất đẳng thức $\mathrm{prof}_A(J; \mathrm{Hom}_A(M, N)) \geqslant 2$ (xét một dãy chính quy $N$-chính quy $(x, y)$ trong $J$).

b) Giả sử rằng $\operatorname{prof}_A(J; \operatorname{Hom}_A(M, N)) \geqslant 3$. Chứng minh rằng ta có $\operatorname{prof}_A(J; \operatorname{Ext}_A^1(M, N)) \geqslant 1$ (xét một dãy khớp của các môđun mở rộng liên kết với một phần tử chính quy $N$ của $J$).