Exercice 18, § 1

Soient $A$ un anneau noethérien, $J$ un idéal de $A$, $M$ et $N$ des $A$-modules de type fini, avec $\mathrm{prof}_A(J; N) \geqslant 2$.

a) Prouver l’inégalité $\mathrm{prof}_A(J; \mathrm{Hom}_A(M, N)) \geqslant 2$ (considérer une suite $N$-régulière $(x, y)$ dans $J$).

b) On suppose $\operatorname{prof}_A(J; \operatorname{Hom}_A(M, N)) \geqslant 3$. Prouver qu’on a $\operatorname{prof}_A(J; \operatorname{Ext}_A^1(M, N)) \geqslant 1$ (considérer une suite exacte de modules d’extensions associée à un élément N-régulier de J).