Bài tập 8, § 1

Cho $A$ là một vành Noether, $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn. Ta nói rằng $M$ thỏa mãn tính chất $(S_k)$ nếu có $\mathrm{prof}_{A_p}(M_p) \geq \inf(k, \dim_{A_p}(M_p))$ với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$. a) Mọi môđun đều thỏa mãn $(S_k)$ với $k \leq 0$; nói rằng một môđun thỏa mãn $(S_1)$ có nghĩa là nó không có iđêan nguyên tố liên kết nhúng. b) Cho $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ là một dãy khớp của các $A$-môđun sinh hữu hạn, và cho $k$ là một số nguyên. Giả sử rằng $M$ thỏa mãn $(S_k)$, rằng $M''$ thỏa mãn $(S_{k-1})$, và nếu $k \geq 2$ thì $\mathrm{Ass}(M'') \subset \mathrm{Ass}(M)$. Chứng minh rằng $M'$ thỏa mãn $(S_k)$ (sử dụng Hệ quả 2 của No. 7).

c) Cho $(L,p)$ là một phân giải của $M$ bởi các $A$-môđun tự do sinh hữu hạn. Nếu $A$ thỏa mãn tính chất $(S_k)$, thì $A$-môđun $B_i(L)$ với $i \geq 0$ thỏa mãn $(S_h)$ với $h = \inf(k,i+1)$.

d) Nếu $A$ thỏa mãn $(S_2)$, đối ngẫu của mọi $A$-môđun sinh hữu hạn thỏa mãn $(S_2)$ (áp dụng c).

e) Cho $J$ là một iđêan của $A$, sinh bởi một dãy $M$-chính quy $(x_1,\ldots,x_r)$. Nếu $M$ thỏa mãn $(S_k)$, thì $A$-môđun $M/JM$ thỏa mãn $(S_{k-r})$.

f) Cho $B$ là một đại số Noether $A$, $N$ là một $B$-môđun sinh hữu hạn là một $A$-môđun phẳng trung thành, và $k$ là một số nguyên. Nếu $B$-môđun $M \otimes_A N$ thỏa mãn tính chất $(S_k)$, thì $A$-môđun $M$ cũng vậy một cách tương tự. Nếu $M$ thỏa mãn $(S_k)$ và nếu $(\kappa(p) \otimes_A B)$-môđun $\kappa(p) \otimes_A N$ thỏa mãn $(S_k)$ với mọi $p \in \mathrm{Supp}(M)$, thì $B$-môđun $M \otimes_A N$ thỏa mãn $(S_k)$.