Exercice 8, § 1

Soient $A$ un anneau noethérien, $M$ un $A$-module de type fini. On dit que $M$ satisfait à la propriété $(S_k)$ si l’on a $\mathrm{prof}_{A_p}(M_p) \geq \inf(k, \dim_{A_p}(M_p))$ pour tout idéal premier $p$ de $A$. a) Tout module satisfait à $(S_k)$ pour $k \leq 0$; dire qu’un module satisfait à $(S_1)$ signifie qu’il n’a pas d’idéaux premiers associés immérgés. b) Soient $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ une suite exacte de $A$-modules de type fini, et $k$ un entier. On suppose que $M$ satisfait à $(S_k)$, que $M''$ satisfait à $(S_{k-1})$, et si $k \geq 2$ qu’on a $\mathrm{Ass}(M'') \subset \mathrm{Ass}(M)$. Prouver que $M'$ satisfait à $(S_k)$ (utiliser le cor. 2 du n° 7).

c) Soit $(L,p)$ une résolution de $M$ par des $A$-modules libres de type fini. Si $A$ satisfait à la propriété $(S_k)$, le $A$-module $B_i(L)$ pour $i \geq 0$ satisfait à $(S_h)$ avec $h = \inf(k,i+1)$.

d) Si $A$ satisfait à $(S_2)$, le dual de tout $A$-module de type fini satisfait à $(S_2)$ (appliquer c).

e) Soit $J$ un idéal de $A$, engendré par une suite $M$-régulière $(x_1,\ldots,x_r)$. Si $M$ satisfait à $(S_k)$, le $A$-module $M/JM$ satisfait à $(S_{k-r})$.

f) Soient $B$ une $A$-algèbre noethérienne, $N$ un $B$-module de type fini qui soit un $A$-module fidèlement plat, et $k$ un entier. Si le $B$-module $M \otimes_A N$ satisfait à la propriété $(S_k)$, il en est de même du $A$-module $M$. Si $M$ satisfait à $(S_k)$ et si le $(\kappa(p) \otimes_A B)$-module $\kappa(p) \otimes_A N$ satisfait à $(S_k)$ pour tout $p \in \mathrm{Supp}(M)$, le $B$-module $M \otimes_A N$ satisfait à $(S_k)$.