Bài tập 3, § 5

Cho $R$ là một vành địa phương chính quy, $I$ là một iđêan của $R$, $A$ là vành $R/I$. Cho $x = (x_1, \ldots, x_d)$ là một hệ tọa độ của $R$, và $y = (y_1, \ldots, y_m)$ là một hệ phần tử sinh cực tiểu của $I$, sao cho $m = [I/m_R I : \kappa_R]$. (a) Khi I được chứa trong $m_R^2$, hãy định nghĩa một đẳng cấu chính tắc từ $H_1(x, A)$ lên $I/m_R I$ (xét một dãy khớp của các phức Koszul). (b) Để các ảnh của $x_i$ trong A tạo thành một hệ phần tử sinh cực tiểu của $m_A$, điều kiện cần và đủ là I được chứa trong $m_R^2$. (c) Chứng minh rằng chiều của không gian vectơ $\kappa_A$ $H_1(x, A)$ bằng $m - d + [m_A / m_A^2 : \kappa_A]$.