Exercice 3, § 5

Soient R un anneau local régulier, I un idéal de R , A l’anneau $R/I$. Soient $x = (x_1, \ldots, x_d)$ un système de coordonnées de R, et $y = (y_1, \ldots, y_m)$ un système générateur minimal de I, de sorte que $m = [I/m_R I : \kappa_R]$. a) Lorsque I est contenu dans $m_R^2$, définir un isomorphisme canonique de $H_1(x, A)$ sur $I/m_R I$ (considérer une suite exacte de complexes de Koszul). b) Pour que les images des $x_i$ dans A forment un système minimal de générateurs de $m_A$, il faut et il suffit que I soit contenu dans $m_R^2$. c) Démontrer que la dimension du $\kappa_A$-espace vectoriel $H_1(x, A)$ est égale à $m - d + [m_A / m_A^2 : \kappa_A]$.